Saturday, 2 August 2025

被青梅竹馬抓來(略) (14):深夜巡邏看似很安全,實際上一點也不危險

Character design: @kuonyuu, Illust: @あん穏 commissioned by forretrio. Skeb
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波恩這個城市超出了少年的想象。

他認知中的波恩是邊境城市,有完整的冒險產業,有一定的貿易。因為冒險者泛濫所以治安不怎樣,貿易也是在刀鋒上探戈的高風險行當。但他待了幾天後發現波恩非常安全,治安問題被限縮到一個冒險者為主的區域裡面。城區設置了大量派出所,衛兵的主要工作也是維持治安而不是在商家身上榨取金錢。這都是因為波恩作為貿易要點的產值實際上不比冒險的產值低,商人擁有很高的話語權。治安是由商人和統治者共同維持的,換來的是城市的持續成長。波恩通往王都最近的路線不是全年隨意通行是有點麻煩,但這裡已經發展到可以沿邊境發展道路把國內貿易網絡推出去的程度。

這給少年帶來了很大的震撼。不是說王都就是最繁榮的都市嗎?這片王權鞭長莫及、沒甚麼人看上的邊陲之地,活力反而超過了很多地方。不論是衛兵小販還是各種技術人才,只要努力就能為自己掙得容身之地,甚至還有餘力爬上更高的階級。

在王都這些機會都被一群人壟斷了。

比如說衛兵。王都的衛兵當然也不會隨便壓榨平民,但不少衛兵空缺都是留給有關係的人來當的。在治安系統裡平穩渡日就能慢慢升職,反正天子腳下不可能發生甚麼大問題。

又或者少年只花了兩天就找到的書記工作。書記官絕對是個肥差,光是經手大量資訊這點就代表著一定權力。在王都很多這種職缺都是內定的,唯一例外大概是魔法學園出來的高材生。

又或者商會裡書記會計之類的職位也是個肥差。經手的金錢是如此之多,只要有心隨便都能撈到油水。在王都這類職位都留給親信或者信得過的隨從,但在這裡似乎只在意對方是否有能力應付工作。

現在叫玖里的少年還記得自己要保持低調沒有找任何冒險或者魔法相關工作,他找了一份為商會處理內務的書記工作。在魔法學園接觸過一些相關知識的他比起一般人好上太多,但也沒好到被懷疑的程度。商會沒有很大,剛好可以請一個書記在裡面幫忙,這樣也不需要太多交流。少年說自己從小就是貴族身邊的侍從,因為主上家道中落被遣散才流浪到這裡謀生。這也是少女為他安排身份的一部分,反正少年舉止剛好有一點貴族風範,這種身份正好適合。對方完全沒有懷疑就要了他,還說表現好的話會把培養他為商會的一分子。

對少年來說更重要的是這份工作作息定時,只要把手上的活幹完就能下班。前一個月他還能忍住下了班回家自己訓練,後來就忍不住跑去冒險者公會接委托了。他都選可以單獨完成、不易撞見別人的工作,比如清理下水道消滅老鼠之類。公會感謝他還來不及,因為這種工作一直都沒人要接。少年的想法是有東西讓他練手就好,可是他發現下水道沾上那身惡臭連魔法也洗不清,他只好忍痛放棄。

有甚麼比實戰更吸引人呢?不過他白天還要工作,只能參加晚上組隊在城外狩獵魔物之類的定時巡邏。每天下班回來趕緊睡一會,深夜才是工作的時間。比起白天穿著整齊的裝束工作,他在晚上改頭換面才能讓外人認不出來。他沒有選擇法師袍而是更像盜賊的短斗篷加緊身裝連口罩,雖然接委託時還是免不了要申報自己為魔法師。

「我想申請加入深夜巡邏。」這種巡邏主要是應付魔物,可疑的人不在他們的檢查範圍裡面,這些由城市的防衛力量負責。

接待員接過他的卡片:「玖里先生……?現在不接清理下水道的委託了嗎?」願意接髒活的人很少,偏偏日常委託的完成比例是接待員的工作指標之一。她可不希望放過這位願意接活的少年。

「我……想我明白為何大家都不願意接這種工作。」

「真是可惜~下個月上面會檢討這些工作的酬勞。清理下水道因為一直沒人做,酬勞很可能會升上去。到時如果玖里先生能幫上忙的話就好了~」她露出職業的笑容。

「至少現在我想試試別的,畢竟錢比較多嘛。」

「也對啦……」接待員一臉遺憾,但還是拿出相關的紀錄:「深夜巡邏的空缺並不多,有空缺的那幾天我先幫你排個班吧。可是我們沒有玖里先生在下水道委託以外的活動紀錄,未必能達到巡邏隊的要求。你介意我們對你測試一下嗎?」

「可以。不過巡邏隊的要求很高嗎?看報酬感覺上還是簡單的工作啊。」

「啊、玖里先生你誤會了!加入巡邏的要求沒有很高,只要有基本戰鬥力和沒有犯罪記錄的的人都可以參加。清理下水道當然需要一點自保能力,我們完全不懷疑你能勝任巡邏的工作。只是在下水道清理掉的魔物不需要提交證明也沒有紀錄在案,我們沒辦法在官方紀錄中確認你的能力而已。測試真的非常簡單,絕對不會為難你的!」

「呃,好吧。」

接待員從櫃台後方跑出來,一下就揪出正在大堂喝酒的某位男子。男子不甘不願地跟著接待員走過來:「這就是要測試的人?」

「嗯。玖里先生之前一直在接清理下水道的工作,但我們沒有他戰鬥能力的證明。你可以幫忙測試一下嗎。」

男子走到少年前面,上下打量了幾下迅速得出結論:「嗯不錯,我覺得可以了。」

「啊??你又來了!」男子一臉想快點回去喝酒的態度讓接待員十分不滿:「拜託認真幫玖里先生測試一下好嗎!!」

男子自言自語地講了一堆話才撓撓頭答應:「明明一眼就能確認的東西……唉、你跟我來吧。」少年尾隨男子從公會的訓練場地去。雖然男子渾身酒氣,步伐卻絲毫不見凌亂。

偌大的訓練場地在晚上空溜溜的沒幾個人使用。大堂還是熱鬧是因為有晚上才能進行的委託,但晚上才訓練的人幾乎沒有。少數獨自訓練的人看了二人一下便沒有再理會他們。

「看你體格就知道平時訓練有素。這還用測試嗎?好麻煩啊……說起來你職業是?」

「會魔法的斥候。」

「很好啊,很適合參與深夜巡邏。會甚麼魔法?」

「風魔法為主。」

「別的就不用測了,我只想看你的風魔法。」男子從地上撿起一把石子:「我現在把這些石子丟出去,你就站這裡用魔法攻擊那些石子可以嗎?」

「嗯。」少年抬手向著男子所指的方向,淡綠色的光芒在他手上浮現。

「那我來了哦。」男子第一顆石子從下往上用拋的,並沒有拋出很遠。這跟少年在學園練手的移動靶子有點像。一發風刃發過去乾淨俐落地把石子切成兩半。第二顆石子的軌跡也差不多,同樣輕易被風刃切開。

「喔,不錯啊。」男子改為正手投擲的姿勢,石子被丟得又高又遠。不過這對少年來說還是沒甚麼難度,滯空時間足夠讓他算出石子的軌跡。這次的風刃沒有乾淨地切開石頭而是把石頭擊碎了。

「喔喔。」少年沒留意到身後的男子向後踏穩、右手向後拉弓地丟出第四顆石子。石子以驚人的速度向前平飛。在看到石子的當下少年就發現自己眼睛已經沒有時間跟上,但身體還是本能地向前來了一發風刃。風刃比人全力丟的石頭還要快,它居然成功追上石頭並把石頭的一角砍掉。被切開的石頭餘勢不減徑直撞上牆壁,在這空蕩的訓練場出發出兩人能聽到的悶響。

完蛋。會不會太張揚了?這是少年的第一反應。他連忙說道:「啊……啊哈哈,居然被我蒙中了。」他一轉身發現男子以銳利的目光盯著他,那氣場完全不像喝了一整晚的人。這傢伙會不會開始追究我的出身?把我當成臥底嗎?還是--

男子爆發出豪邁的笑聲,仿彿剛剛只是少年的錯覺:「很有一套嘛!難怪你都接清理下水道的委託。那邊的魔物沒有很強就是躲得快逃得快,不過再快遇上你也逃不掉呀。」

「還、還要測試其他東西嗎?」少年只想盡快了結這測試避免曝露太多。

男子擺擺手轉頭就走,頭也不回地離開訓練場:「不用了,其他的等你進隊再看也不遲。你自己跟接待員說吧。」

謎一般的男子就這樣批准了少年加入深夜巡邏。接待員十分善心地把每一個有空缺的晚上都給他排了上去。少年對男子的身份很有興趣,但接待員沒有要鬆口的意思。男子一直都只在大堂的喝酒區出沒,完全不像是有官方身份的人。其實如果少年敢買一點好酒跑過去搭訕的話說不定很簡單就能要到答案,但年齡不夠又過不了心理關口的他始終只敢在遠處看上兩眼。沒多久少年就忘了這個想法,他覺得繼續混下去的話自己早晚會知道答案的。

深夜巡邏是少年第一次接的團體任務,即使在王都他也從來只接可以獨自完成的委託。一方面是因為他在學園裡沒多少可以組隊的朋友,另一方面也源自他對學園提供的冒險訓練的感受--太低能了。

學園安排的地下城幾乎沒有突發事件可言。路線和會遇上的魔物之類的資訊都已經完整地提供了給學生們,魔物的強度對比魔法科學生的能力而言毫無威脅,比起冒險更像是郊遊。這種安排對長期面對高強度操練的魔法科學生來說十分奇怪。沒有讀滿三年的少年不知道高年級魔法科的冒險訓練是否還是如此無聊,但他知道隔壁冒險科的訓練就要難上許多,這樣出來的學生才會受到那些大公會的青睞。

很久以後少年才知道這種安排的原因--不管事前安排有多好、看上去有多簡單,地下城永遠伴隨著風險。萬一是哪位大人的公子掛彩呢?正是發生過意外,學園在這方面變得意外地保守。在大人們默許的情況下魔法科的冒險訓練逐漸變成了現在的樣子。

對當時的少年而言最直接的影響就是他完全不信任學園給他的訓練,他甚至不敢進入王都裡那些稍有難度的地下城。他不畏懼任何面對面的戰鬥,但地下城那危機四伏的感覺讓他十分不舒服,只要稍有豫疑他就情願逃走。這種心態使他一直不想參與組隊,直到他在新的地方才敢放開手腳。不用進地下城,只要像平時地應付魔物就好,應該沒問題的吧?少年如此告訴自己。

從這時開始他才開始願意跟別人組隊冒險。

小隊的主要任務是留意城市外圍的魔物出沒痕跡。能當場揪出魔物幹掉當然很好,但晚上要憑空搜出擊殺一隻魔物是非常困難且低效的行為。只要找到足夠痕跡整理成報告交上去,冒險者公會自然有人來處理。本來這就是工作的主要內容,但在庫里斯不小心兩次遙距鎖定魔物後小隊迅速把這些拋諸腦後進入狩獵模式。不殺魔物本來就是因為晚上不好找,但已經鎖定了的話就另作別論了。加上魔物也能賣錢,誰又會拒絕這天上掉下來的餡餅呢?

作為小隊裡的新人,其他隊員本來沒有甚麼期望。但是玖里的用實際表現打動了隊員們,於是他迅速融入到隊伍裡面。隊員們不住提起了巡邏工作的要點:怎樣分辨出魔物和人的痕跡啦、常見的魔物種類、合作應付魔物的方法等等。這幫戰鬥力未必很強的隊員們每天都給少年灌輸著新的概念,縝密程度遠超學園上的課,就連冒險科也沒法教得如此詳細。少年覺得這些人絕對值得更好的待遇,可惜到最後決定這點的還是任務難度,如此穩定的工作是賺不到甚麼錢的。

「我覺得你們比很多冒險者都要厲害啊。那堆跑地下城的新手連魔物的基本資料都沒記全就往裡面跑了。」某天少年被眾人拉到酒場裡去,這是他的開場白。

「哎呀你這小子可真會說。有你在我們現在每晚喝完酒還有餘錢回去交差呢!來來來多吃點,今天晚上我來付帳。」

所以平時巡邏回來領的工錢都是喝光了嗎,少年心裡吐糟道。但他沒有客氣,這幾天都能獵到魔物回來都是他的功勞。這種接近城市的地方很難有甚麼危險的魔物,這幫隊員們一個包抄就能把它拿下,甚至不用少年出手。魔物換來的報酬平分下來一點都不差,也難怪巡邏隊員對此反應如此大。

酒過三巡後少年脫嘴而出:「你們對魔物習性如此熟悉的話就不考慮換點別的冒險工作嗎?我看那些沒怎樣準備的新人也能在地下城賺錢,由你們也去地下城的話報酬總比巡邏好吧?」

本來熱烈的氣氛忽然凍結了下來,幾個隊員看著自己的啤酒杯默然不語。數秒後最資深的大叔開口:「唉…小哥你還年輕。地下城再簡單,風險也比這種巡邏工作要高。你看那些進地下城的新人,在一年後還留在這行的有多少,五年十年呢?我們都有家室了,戰力也很難再進一步……這種工作已經不錯了呀。」

「不、不好意思,我不該這樣問的。」

「這麼客氣幹嘛。我們才想問你,以你的身手幹嘛要接這種工作?」幾個隊員立刻跟著起哄。

「我……其實白天有正職,想賺點外快只能在晚上找這種時間固定的活。」

隊員們把少年的正職當成了保鑣或者魔法師之類的魔法相關職業,討論話題開始偏移到他們各種大吹大擂上面。他們大概已經忘了白天幹這種工作的人根本就看不起深夜巡邏這點報酬。

這些隊員們安於這份工作,但少年知道他們對冒險的理解絕對能處理比起巡邏更複雜的狀況。他們可以在這裡幹到退休,而對少年來說巡邏只是他的踏腳石,他早晚要回到那個冒險的世界。屆時他腦裡裝著的是學園裡面教的三腳貓功夫還是這些老油條的經驗累積分別可就大了。這麼好的機會就在眼前,少年無論如何都希望從他們身上學到更多。

接下來的三個月裡少年一直跟著他們巡邏。前一個月還能獵到不少魔物,到了後面連魔物的影子都看不見。大概他們已經把定居這一帶的魔物都獵光,剩下的都嚇到躲起來了吧?其他隊員們倒也不太在意獎金因此下降,至少工作變得輕鬆多了。城市的魔物侵害報告也在下降,他們可以自豪地說這是小隊的功勞。他們也不擔心這個崗位會因此被砍掉,因為少年肯定不會一直待在這裡。

對少年來說這是難得的學習機會。這當然不是戰力上的進步,但誰說冒險只有戰鬥呢?少年覺得現在自己索敵和探路能力都上升了一大截,目光所及任何痕跡都難以逃過少年的認知。他操縱氣流作為額外的感知手段在這段時間也有機會一直實踐,這也是他可以一直鎖定獵物的必殺技。這種技能不用多想也知道在冒險中有多實用。

所以……

明明就有完全不危險但也能學到東西的任務,為甚麼學園連這些東西都不願意碰啊??

*

一份厚厚的文件「啪」一聲放到庫里斯面前,標題就是一年級魔法科去地下城實習的計劃。他快速看瞄過文件的內容:首先是目前的教學進度,然後是為了進地下城所需要準備。學生需要兩個月以上的密集訓練,而且是冒險課和魔法課同時進行的訓練。蓋伊負責探險的知識和技巧,本來也屬於冒險課的實戰訓練則丟到庫里斯手上。在進入選定的地下城以前有兩次很像以往地下城「郊遊」的練習機會,第三次才會來真的。

整個計劃都圍繞降低風險而設計。事前的學習和操練是一部分,在地下此裡面的安排也同樣重要。蓋伊的方案是把探險隊伍進一步打散成五人一隊,而且改變過去讓學生自由探險的政策,每次出入都由蓋伊或庫里斯親自伴隨。老師的主要角色只限於評核和救急,剩下都由學生們獨力完成任務。

文件剩下的部分是選定地下城的資料。這是另一個離王都不遠、已被完全探明的地下城。由冒險者公會管理,人氣不高但進入要預先登記。到時可以學園的名義交涉暫時不開放預約,這樣在裡面遇到人為風險的機會便會降低。任務是假設有人在地下城某處受傷被丟下,隊伍前往定點搜索並回收傷者。文件標註了三個樓層對應三種難度,老師可以按學生隊伍的能力來決定任務難度。

庫里斯看了一遍又一遍,蓋伊終於不耐煩問:「覺得怎樣啊?」

「……你們大公會都是這樣寫計劃書的嗎?」

「才不會。『銀雪兔』底層隊伍的競爭是很殘酷的,還要手把手教的人我們才不會看得上眼。有些天才值得我們破格拉一把,但直接把他們丟去高級隊伍還比較快。」

「那我知道了,你一定是翻出了很久以前學園的地下城企劃作參考吧!」

「我怎可能有這種東西,很多都是動腦想出來的好不好。你也給我仔細好好看有沒有要更正的地方。別忘了這種大企劃肯定要得到學園長的首肯,這個難度可不是開玩笑的。」

庫里斯頭頂冒出問號:「有很難嗎?我看他沒對我的課綱更動作出甚麼表示。」

蓋伊嘆氣:「這是因為你的教學逃不出他的掌控啊。要是他某天跟你說你這樣教不行要改回去,你覺得你有拒絕的權利嗎?」

「……」庫里斯這時才想起華萊里安絕對不是對他更改課綱毫無表示。

「若是你帶學生去地下城出了甚麼意外他不但控制不了,追究起來他也逃不掉。他怎可能讓這種風險出現呢?拒絕你是最自然的選擇。只有讓他感到安心而且不可能背鍋的情況下我們的企劃才有一點點通過的可能。」

「嗯……如果我們讓學生簽名自願參與呢?這樣追責也追不到華萊里安頭上。」

「這樣不就表示這趟冒險的確很危險嗎。退一步來說就算學生們都簽了下去,真出事了你能承受大貴族的怒火嗎?」

「的確不能。」

「你現在明白我為何要花了大功夫把細節全都寫上去了吧。現在想來只為了跟你交個手和幫朋友跑個簡單任務就跳進了這個大坑實屬不值,所以我怎也得把你拉進來,這樣我心理會平衡一點。」蓋伊突然露出微笑:「跟學園長的交涉當然由你這個魔法科老師來做,我已經幫你足夠多了。戰鬥訓練也要你自己來,別跟我說你沒時間教,想要拔苗助長總要付出代價吧?」

庫里斯面有難色:「我明白實戰訓練很重要。但是在魔法課裡加插兩個月的戰鬥訓練先不說有沒有這樣的時間,這已經是花時間在跟本來魔法課無關的內容上了。怎麼想都不可能通過啊?」

蓋伊聳肩:「擬定企劃、給他們速成一下加上帶隊,我能做的都已經做了,剩下的都是你才能解決的問題。嘛,你回去一邊批改卷子一邊想想有沒有解決方法吧。」說罷他把企劃書拍到庫里斯的卷子上面。

「……我會的,」庫里斯思考良久後拿起沙漏和答題紙,明明只是多了一份企劃書他卻感到手上這疊紙變得沉重很多:「等著我的好消息吧。」

***

我一直很想討論冒險體系的建構。冒險產業作為城市支柱之一,冒險生態就是城市風格的縮寫,因此討論冒險體系其實就是討論城市本身。

比如說王都和波恩是兩個截然不同的城市。王都權力集中而且會明確跟隨規則運行,而波恩更像是放任的自治。很多人會想當然覺得前者「比較好」--在機遇、富裕程度、宜居程度之類的指標上--事實上兩者間的優劣完全因人而異。像學園的學生只要按部就班畢業肯定就能在王都找到不錯的工作,魔法科的畢業生還可以一隻腳踏進精英圈子裡面。王都提供了這樣的機會,作為代價是不能打破那些規矩,比如權力的上下關係。波恩則更接近實力至上,冒險者公會連當個巡邏都要確認實力,而庫里斯在巡邏隊上展現實力後則迅速得到大家的尊重。雖然他覺得商會請人都很隨意,事實上你工作的表現人家都放在眼內,真的沒法勝任工作的話就會被無情掃出去。

當然,在波恩如魚得水的大部分都是像他這種實力過硬的人。而那些不經培訓就想進地下城的新人如同巡邏隊所說每年都要折損一批,只有少數人能一直幹下去。如果這些人在王都呢?幾乎進入任何地下城都會被攔下來,只能從最簡單的任務做起。他們生命得到了保障,但也失去了一條上升的捷徑。

這篇前半都是他的回憶,是他看見企劃時的感嘆。順帶一提,深夜巡邏真的不是甚麼高難度的工作。靠近城市的魔物的數量和強度都偏低,而且真對居民產生危害的話一定會通報出來根本不需要巡邏隊。之所以還要深夜巡邏其實就是開個職缺養著這幫有經驗但是已經打不動的冒險者,工資夠低而且真有點用所以這個小隊就被留了下來。在玖里加入以前,小隊每個晚上都能收到若干魔物報告但很多都是誤報,每一兩天就能發現魔物的痕跡,但可能每個月才會碰上一兩頭不長眼的魔物。從數字上看不多,但一頭魔物也是一頭魔物,而且深夜是防備最薄弱的時間,花這點小錢還是值得。

回到當下,庫里斯似乎很驚訝蓋伊會拿出這樣的企劃和看得出要通過企劃的要點。這一點都不意外,也就這笨蛋還沒習慣王都的思考模式吧。能在王都的大公會裡混到相當層次再跳到魔法學園裡教書,怎可能半點政治觸覺都沒有呢?從這份相當進取的企劃中可以看出他還是有半顆老夫聊發少年狂的心,他想看看庫里斯有沒有辦法推動這個企劃,或者更進一步讓魔法科的冒險訓練回到正常的狀態。

正所謂春風若有憐花意,可否許我再少年?這一句也送給各位。

最後是插圖時間,這次是あん穏老師的樹下小睡圖。想像一下被學生吵醒的樣子,到底會是溫柔的教師眼神,還是帶起床氣的防衛性眼神呢?

Tuesday, 29 July 2025

28/7/2025: Sixth form maths/Quintic dreams/Frontiermath

The blog is full of my random thoughts. 

The category of random thoughts contributes to the fifth largest categories among tagged entries, after "diary", "notes", "maths" and "works". Most of them were in Chinese though.

And today I come up with something different: three math related random thoughts in a single entry.

This is new in the sense that all "math diary" in the past are more like "math but too casual" that were still focused on a single topic. This is also new because it's 3 math-related entries in a row...

*

I recently bought another sixth form "textbook" from an antique store. Titled "Polynomials and equations" and claimed "part of the chapters applicable for HKALE or equivalent examinations". This is nothing special: polynomials is an essential part in the curriculum with questions commonly on binomial sums and Vieta applications.

I bought the book at the price of half a cup of coffee, made myself a proper cup of coffee and started diving in...

- Introduction...starts with the notation $R[x]$ and $C[x]$.
- Factorization...gcd and lcm, then the Euclidean algorithm, unique factorization and FToA.
- Solving equations...then start talking about the meaning of discriminant in these solutions together with the insolvability of quintic equations.
- Integral solutions...some number theory, then Eisenstein without warning.
- Derivatives...Taylor and approximating continuous functions, IVT, Rolle.
- Root bounding and separation...approximates, Strum and Fourier(surprise!)...

Oh yeah, the "new math" style old math textbook.

The context was a bit different though. The book I bought was published in 1992, and indeed part of the chapters fitted the HKALE pure maths syllabus and exam depth adequately. The pure math exam was hard more because HKALE itself was designed to be an ultimate challenge to filter true elite to enter university.

Should it be a true "new math" style book, it has to be much earlier like in the 1970s or 1980s, it would also be covering topics straight at university level abstractness. I have another true "new math" era "sixth form" textbook with the title "group theory" that followed M.Artin's line all the way up to similarity. Can you imagine average sixth form students doing that?

Nonetheless the bridging between high school and university has always been an intriguing topic for discussion especially regions adopting the sixth form/matriculation system. Students at that level are matured enough to take another step above the cert level but not quite ready for university. What would you teach them, and what would you examine?

It always feel weird to me that geometry has been playing the vital role in most A-level or even high school level syllabuses across the globe. Coordinate geometry on conics, vector geometry, 3D vector calculus, parametric equations, geometry on complex plane -- do we really need them? Are they really useful other than serving the purpose of filtering students who can't handle messiness?

These geometry topics are almost never used in universities. You will use vector but they are not for solving Euclidean geometry problems. You will see them in linear algebra or calculus II with completely different intents. Conics are almost never used except for optics which is extremely niche and still look simpler than questions you will encounter in A-level exams. Complex geometry is beautiful but you will only study complex analysis in undergrad, not complex geometry.

There are so many misc topics you can fill into the roster instead. What about functions and relations? Injective and surjective functions? Equivalence relations? Group theory from matrices? Inequalities, epsilon-N and epsilon-delta?

...

Youtube forwarded me a video on quintic insolvability without Galois on the same day. Frankly this is what motivated me to write something, not the sixth form textbook.

The video was about Arnold's proof, who managed to open the field of topological Galois theory from this result. The concept of "multivalued pullback" is somewhat unexpected yet so beautiful to understand. 

When I first read M.Artin's algebra on branched coverings, it was too abstract for me. I simply jotted down and didn't understand a word of it. It wasn't even in the exam so I never came back to the topic until I took algebraic geometry course much, much later. Even so, it was never my focus.

On the other hand, the idea of travelling from a branch to another continuously is something that is much common. Winding is everywhere in geometry, topology and analysis. The moment they showed the loop (the projections of the infinite branched sheets onto complex plane) it's like a spark in my brain and everything started to come together.

The rest is all about bridging between loop commutators and roots permutation, but they looks so complicated even as presented in those modified sources. Here is the logic I would rather present instead:

- Given any solution formula for a given degree of polynomial equation, it should be invariant upon transversal along any loop based at solution point.
- In particular, it must be invariant to the commutators of loops, the commutators of commutators,... and so on because they are all loops.
- The key result is that suppose the minimal (least number of nested roots) formulae that are invariant to two loops are both $k$ and that the two loops do not commute, then the minimal formulae that can be invariant to the two loops and its commutator requires at least $k+1$ nested roots (!!!).
- Thus, the existence of the formula relies on the requirement that commutator of commutators eventually becomes trivial. 
- Quadratic case: the commutators of $S_2$ is trivial, hence there is just 1 square root.
- Cubic case: the commutator group chain is $S_3, A_3, \left\{ e\right\}$, hence two nested roots.
- Quartic case: the commutator group chain is $S_4, A_4, V, \left\{ e \right\}$ so it works too.
- Quintic case? The commutator group is stuck at $A_5$ because it's damn simple!

In the first half the proof may look completely new and creative, but once you saw the subgroup chains it reduces to "oh it's the damn old $A_5$ again...".

The video avoided saying $A_5$ being simple directly. Instead it said commutator (sub)group generates the whole permutation group which means any finite nested root doesn't work. 

Abel's proof (for him proving the result before Galois) also avoided the use of $A_5$. He used the language of algebraic independence to show that no further field extension is possible after the quadratic extension (equivalently from $S_5$ to $A_5$), just without all modern tools.

Both approaches avoided the use of $A_5$ although they are simply equivalent in the algebraic sense. The commutator group is in fact the minimal normal subgroup such that the quotient is Abelian. Since $A_5$ is simple, the only normal subgroup is the trivial group or itself, but the quotient upon trivial group is not Abelian, so the commutator group got stuck at $A_5$. Abel's approach is merely the elementary way of showing that there is no transitive field extension (by prime characteristic each step) to $S_5$ because $A_5$ is simple.

That makes me wondering what counts as "Galois"? The use of Galois theory, or even the fact that $A_5$ is simple? Even in modern algebraic sense, we could have avoided the use of Galois theory simply by using the language of field extension. It could have been much easier than Abel's proof too. Does that count as non-Galois proof?

I have no idea.

But one thing for sure: I would be extremely impressed if someone proved irresolvability without using any algebraic structure related to $A_5$.

Anyway, it's a good math video almost at 3B1B level, a hidden treasure that is definitely worth a look.

Some other great references:

*

Speaking of Galois theory I've got one more thing to say: the math LLM benchmarks.

Forget about testing against AMC or AIME. Forget about testing against IMO or Putnam problems. We are now straight into the most advanced problems we can scramble out of our garage.

Previously I have been looking into the HLE (humanity's last exam) benchmarks as they aim to gather top questions from all subjects where math plays a big part of it. However, the mix between math and other subjects means that it is very hard to evaluate how good at math LLMs had became. There are also questions that are pure travia or multiple choice questions that aren't foul proof and hardly represent any meaningful results.

That is, until my friend told me the existence of FrontierMath.

I really like the fact that cover a wide range of breadth while keeping everything hard and foul proof. Top tier questions are only answered using frontier research results and are absolutely into the most niche bit of mathematics at the frontier. I really wonder how did the LLMs managed even to answer any single one of them...we can learn much more from what they managed to answer instead of what they can't for now.

Can I give any prediction on their progress of solving these questions? Not really. I still think they will be stopped by these questions for a long time but I might as well give an opposite answer by the end of 2025...